SEGI BANYAK DAN LINGKARAN

Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Matematika 2

Dosen Pengampu Budiharti, S.Pd

Disusun oleh:

1.     Riza Syarifudin                      (11144600121/A4)

2.     Novi Dwi Ambarwati             (11144600131/A4)

3.     Kartika Sari                           (11144600146/A4)

4.     Nur Muharfirmansyah            (11144600164/A4)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS  KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2012

SEGI BANYAK DAN LINGKARAN

 

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar :

1.      PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG

SIFAT - SIFAT PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG 1. PERSEGI PANJANG     Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang memiliki dua pasang       sisi sejajar dan memiliki empat sudut siku-siku.     a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan         sejajar.     b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut sikusiku (900).     c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.     d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.     e. Mempunyai 2 simetri lipat / sumbu simetri 2. PERSEGI     Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang      dan empat  sudut  siku-siku.      a. Semua sisi persegi adalah sama panjang.      b. Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonaldiagonalnya.      c. Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk            sudut siku - siku      d. Mempunyai 4 sumbu simetri      e. Menempati bingkainya dengan 8 cara KELILING DAN LUAS PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG                  Keliling bangun datar = Jumlah semua sisinya K persegi = s + s + s + s                            K persegi panjang = p + l + p + l K persegi = 4s                                           K persegi panjang = 2(p + l) L ersegi = s x s                                          L persegi panjang = p x l L persegi = s 2 CONTOH:  Diketahui luas persegi adalah 64 cm 2 , tentukan kelilingnya? Diketahui : L = cm 2 Ditanya    : K .... ? Jawab      : L =  s 2                       64 cm 2 = s 2                                   Jadi K = 4s                      √ 64 cm 2 = s                                          K = 4 x 8                        8 cm = s                                         K = 32 cm

CONTOH : Sebuah persegi panjang berukuran panjang = ( 3x + 4 ) cm , lebar = ( x + 6 ) , dan keliling = 80 cm. Tentukan luas persegi panjang tersebut. Diketahui : p = ( 3x + 4 ) cm                          l = ( x + 6 ) cm                  l = ( x + 6 ) cm                             l = ( 5 + 6 ) cm                  K = 80 cm                                    l = 11 cm Ditanya    : L = .... ? Jawab      : K = 2 ( p + l )                               p = ( 3x + 4 ) cm                                           80 = 2 ( 3x + 4 + x + 6 )               p = ( 3.5 + 4 ) cm                                           80 = 2 ( 4x + 10 )                         p = ( 15 + 4 ) cm                           80 = 8x + 20                                 p = 19 cm                   80 - 20 = 8x                   40 = 8x                                          Jadi : L = p x l                   40 : 8 = x                                                L = 19 x 11                   5 cm = x                                                  L = 209 cm 2

CONTOH : Keliling suatu persegi panjang adalah 72 cm dan lebarnya 8 cm kurang dari panjangnya. Hitunglah luas persegi panjang tersebut Diketahui : K = 72 cm                   l = p - 8 cm Ditanya    : L = .... ? Jawab      :  K = 2 ( p + l )                     l = p - 8                    72 = 2 ( p + p - 8 )             l = 22 - 8                    72 : 2 =  ( 2p - 8 )               l = 14 cm                     36 = 2p - 8                     36 + 8 = 2p                      Jadi L = p x l                     44 = 2p                                   L = 22 x 14                     44 : 2 = p                                L = 308 cm 2                     22 cm = p

CONTOH : Halaman rumah berbentuk persegi panjang berukuran panjang 90 meter dan lebar 65 meter. Di sekeliling halaman itu, akan dipasang pagar dengan biaya Rp135.000,00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut? Diketahui : p = 90 m                   l = 65 m                   biaya = Rp. 135.000,00 per meter Ditanya   : biaya pembuatan pagar seluruh halaman Jawab     : K = 2 ( p + l )                  K = 2 ( 90 + 65 )                  K = 2 ( 155 )                  K = 310 m Jadi harga pembuatan pagar halaman adalah 310 m x Rp. 135.000 = Rp. 41.850.000,00 CONTOH : Diketahui luas persegi sama dengan luas persegi panjang dengan panjang = 16 cm dan lebar = 4 cm. Tentukan keliling persegi tersebut. Diketahui : L persegi = L persegi panjang                  p = 16 cm                  l =  4 cm Ditanya  : K persegi = ... ? Jawab    : L persegi = L persegi panjang                     s 2      =  p x l              Jadi :                     s 2      =  16 x 4           K persegi = 4s                     s 2      =  64 cm 2           K persegi = 4(8)                     s        = √ 64 cm 2         K persegi = 32 cm                            s        =  8 cm

CONTOH:

Sebuah lantai berbentuk persegi dengan panjang sisinya 6 m. Lantai tersebut akan dipasang ubin berbentuk persegi berukuran 30 cm x 30 cm. Berapa banyak ubin yang dibutuhkan untuk menutup lantai tersebut Diketahui : s lantai = 6 m = 600 cm                  s ubin  = 30 cm Ditanya    : banyak ubin yang dibutuhkan untuk lantai tsb ? Jawab      : L lantai = s 2                            L ubin = s 2                         L lantai = 600 2                                 L ubin = 30 2                                    L lantai = 360.000             L ubin = 900 Jadi banyak ubin yang dibutuhkan untuk lantai tsb adalah 360.000 : 900 = 400 buah

2.      SEGITIGA Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segaris Keliling segitiga dapat dicari dengan rumus : K = S1 + S2 + S3 Ket : K = Keliling S1 = Sisi pertama S2 = sisi kedua S3 = sisi ketiga Perhatikan Gambar dibawah ini Jika persegi panjang tersebut dibagi menjadi dua menurut diagonalnya, maka terbentuk dua buah segitiga. maka Luas segitiga adalah L = 1/2 x p x l Dalam segitiga p = a (alas) dan l = t (tinggi) dalam segitiga p = a (alas) dan l = t (tinggi) jadi, Luas segitiga adalah L = ½ x a x t Ket : L = luas a = alas t = tinggi CONTOH SOAL SEGITIGA 1. Perhatikan gambar di bawah ini. Berapa keliling segitiga tersebut? sisi pertama = 10 cm sisi kedua = 5 cm sisi ketiga = 8 cm K = S1 + S2 + S3 = 10 cm + 5 cm +8 cm = 23 cm jadi, keliling segitiga adalah 23 cm 2. Hitung luas segitiga di bawah ini. Berapa luas segitiga tersebut? tinggi = 3 cm L = 1/2 x a x t = 1/2 x 4 cm x 3 cm = 6 cm2 jadi, luas segitiga adalah 6 cm2 3. Sebuah kartu berbentuk segitiga. Tingginya 14 cm dan alasnya 18 cm. Berapakah luas kartu itu? Jawab : Tinggi kartu = 14 cm Alas kartu = 18 cm L = 1/2 x alas x tinggi = 1/2 x 18 cm x 14 cm = 126 cm2 3.      JAJAR GENJANG Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar. Sifat - sifat jajargenjang sudut yang berdekatan / sepihak berjumlah 180 0 dan sudut yang berhadapan besarnya sama. CONTOH : Pada gambar dibawah tentukan nilai x dan y Jawab : 135 0 + y 0 = 180 0 ( berdekatan )  y 0 = 180 0 - 135 0  y 0 = 45 0 x 0 = 135 0 ( berhadapan )   CONTOH : Pada sebuah jajargenjang diketahui luasnya 250 cm 2 , Jika panjang alas jajargenjang tersebut 5x dan tingginya 2x, tentukan tinggi jajargenjang tersebut Diketahui : L = 250 cm 2                  a  = 5x                  t   = 2x Ditanya   : t = ....? Jawab     : L = a x t                  250 cm 2 = 5x ( 2x )                  250 cm 2 = 10x 2                       250 cm 2 : 10 = x 2                 25  cm 2 = x 2                √25cm 2  = x                   5 cm = x Jadi t = 2x = 2 ( 5 cm ) = 10 cm   CONTOH : Pada gambar diatas panjang CF adalah Jawab :  L =  a x t                L =   a x t           L =  6 x 10              L = 12 x CF       L = 60 cm 2            60 cm 2  : 12 = CF                               5 cm =  CF                                           CONTOH :  Tentukan nilai x pada gambar Jawab : garing 2 = 8 2 + 6 2             garing 2 = 64 + 36             garing 2 = 100             garing = √100             garing = 10 cm L = 7 x 8             L =   garing x x cm L = 56 cm 2        56 =  10 cm x x cm                          56  : 10 =   x cm                          5,6 cm = x 4.      BELAH KETUPAT Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus. Sifat - sifat belah ketupat : Semua sisinya sama panjang PQ = QR = RS = SP Contoh : Pada gambar dibawah ini panjang PS = (2x - 3) cm,  dan  QR = 11 cm . Tentukan nilai x Jawab : PS = QR             2x - 3 = 11             2x = 11 + 3             2x = 14              x = 14 : 2              x = 7    CONTOH : Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat diketahui berturut-turut 18 cm dan (2x + 3) cm. Jika luas belah ketupat tersebut 81 cm2, tentukan nilai x Diketahui : d1 = 18 cm                  d2 = (2x + 3) cm                  L = 81 cm2 Ditanya   : K = ... ? Jawab : L = 1/2 x d1 x d2             81 = 1/2 x 18 x (2x + 3)             81 = 9 ( 2x + 3 )             81 : 9 = 2x + 3             9 = 2x + 3             9 - 3 = 2x             6 = 2x             6 : 2 = x             3 = x 5.      LAYANG-LAYANG Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya. Keliling layang - layang = AD + DC + AB + BC Keliling layang - layang = 2AD + 2AB CONTOH : Pada gambar diatas panjang DC = 10 cm, CB = (2x + 5) cm, dan kelilingnya = 54 cm, tentukan nilai x. Diketahui : DC = AD = 10 cm                  CB = BC = (2x + 5) cm                  K = 54 cm Ditanya : nilai x Jawab   : K  = AD + DC + AB + BC               54 = 10 + 10 + (2x + 5) + (2x + 5 )               54 = 30 + 4x               54 - 30 = 4x               24 = 4x               24 : 4 = x               6 = x 6.         TRAPESIUM Trapesium adalah bangun 2 dimensi berbentuk segiempat yang mempunyai sepasang sisi yang sejajar. Ada 3 jenis trapesium yaitu: 1. Trapesium sama kaki Trapesium sama kaki adalah trapesium yang memiliki pasangan sisi yang sama. 2. Trapesium siku-siku Trapesium siku-siku adalah trapesium yang memiliki sudut siku-siku. 3. Trapesium sembarang Trapesium sembarang adalah trapesium yang sisinya tidak beraturan. Syarat: AB // CD Ciri-ciri trapesium: Memiliki tepat sepasang sudut siku-siku. Sudut alas dan atas sama besar. Diagonalnya sama panjang. Tepat sepasang sisi sama panjang. Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180 derajat. Jumlah semua sudut adalah 360 derajat. Rumus luas trapesium: Rumus keliling trapesium: Keliling = sisi + sisi + sisi + sisi Contoh soal: Perhatikan gambar trapesium STUV. Hitunglah luasnya! Jawaban: Luas KLMN = ½ × t × (ST + UV) = ½ × 6 × (14 + 8) = ½ × 6 × 22 = 66 cm2 7.                 LINGKARAN Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari. a. Jari-jari dan Diameter Lingkaran Perhatikanlah gambar lingkaran dengan titik pusat O berikut. Jarak dari titik pusat ke setiap titik pada lingkaran dinamakan jari-jari lingkaran. Pada gambar tersebut jarak titik O ke titik A sama dengan jarak titik O ke titik B yang dalam hal ini merupakan jari-jari lingkaran. Jari-jari lingkaran biasanya dilambangkan dengan r. Diameter lingkaran adalah panjang ruas garis lurus yang melalui titik pusat dan menghubungan dua buah titik pada lingkaran. Sebagai contoh, perhatikan gambar lingkaran berikut ini. Titik pusat lingkaran pada gambar di atas adalah O. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran. Ruas garis AC dan BD melalui titik O. Panjang ruas garis AC sama dengan ruas garis BD yang merupakan diameter lingkaran tersebut. Diameter lingkaran dilambangkan dengan d. Diameter lingkaran sama dengan dua kali jari-jarinya. Dengan demikian, Contoh Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 6 cm. Berapa cm panjang diameternya? Jawab: r = 6 cm Panjang diameter lingkaran adalah d = 2 × r    = 2 × 6 cm    = 12 cm Jadi, panjang diameter lingkaran tersebut adalah 12 cm. b. Keliling Lingkaran Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 5 meter. Ali berlari mengelilingi taman itu satu kali putaran. Berapa meter jarak yang telah ditempuh Ali? Jarak yang ditempuh Ali sama dengan keliling taman yang berbentuk lingkaran tersebut. Dapatkah kamu mencari keliling lingkaran jika diketahui diameternya? Dari kegiatan tersebut, kamu akan mendapatkan bahwa perbandingan keliling (K) dan diameter lingkaran (d) mendekati bilangan 3,14 atau 22/7 . Selanjutnya, bilangan ini dinamakan π , dibaca pi . Oleh karena panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari, keliling lingkaran dapat juga dirumuskan sebagai berikut. b. Luas Lingkaran Kamu telah mengetahui cara menghitung keliling lingkaran. Sekarang, bagaimanakah cara menghitung luas lingkaran? Pengertian luas lingkaran di sini adalah luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran tersebut. Luas lingkaran dapat dihitung jika diketahui panjang diameter atau jari-jarinya. Akan tetapi, bagaimana caranya? Perhatikanlah gambar berikut ini. a. Sebuah lingkaran dibagi menjadi beberapa bagian. Pada gambar ini tampak bahwa lingkaran dibagi menjadi 16 bagian. b. Bagian-bagian lingkaran disusun menyerupai persegi panjang dengan lebar sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu r. Adapun panjangnya adalah setengah dari keliling lingkaran atau 1/2 K. Dari gambar tersebut, diperoleh bahwa luas lingkaran mendekati luas persegi panjang dengan panjang 1/2 K dan lebar r. Luas lingkaran = luas persegi panjang ABCD                         = p × l                         =1/2 K × r                         =1/2 × (π × 2 × r) × r                         =1/2 × 2 × π × r × r                         = π × r2 Jadi, luas lingkaran adalah

Menghitung Luas Segi Banyak

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari bagaimana menghitung luas daerah yang merupakan gabungan dari dua bangun datar. Ayo, perhatikanlah gambar berikut.

Bangun datar pada Gambar (a) dan (b) dinamakan juga segi banyak. Bangun (a) dibentuk oleh persegipanjang dan persegi. Adapun bangun (b) dibentuk oleh persegipanjang dan segitiga. Bagaimanakah cara menghitung luas segi banyak tersebut?

Langkah-langkah untuk menghitung luas segi banyak adalah sebagai berikut.
1. Tentukan bangun datar apa saja yang membentuknya.
2. Tentukan luas dari setiap bangun datar yang membentuknya.
3. Jumlahkan luas dari keseluruhan bangun datar yang membentuknya.

Berdasarkan langkah-langkah tersebut, maka
• Luas bangun (a) = luas persegipanjang ABCG + luas persegi DEFG
                              = (10 cm × 4 cm) + (3 cm × 3 cm)
                              = 40 cm² + 9 cm²
                              = 49 cm²
• Luas bangun (b) = luas persegipanjang PQST + luas segitiga QRS
                              = (12 cm × 8 cm) + (1/2 × 8 cm × 3 cm)
                              = 96 cm² + 12 cm²
                              = 108 cm²

Agar kamu lebih memahami dalam menghitung luas segi banyak, pelajarilah contoh berikut.